17 groups using the Magic Theorem17 групп по магической теореме

Part of a private hub of your symmetry work, listed in your Gyroscope Hub (private)Часть закрытого хаба вашей работы о симметрии, указанного в вашем Gyroscope Hub (закрытый)

Conway's Magic Theorem gives every feature of an orbifold symbol a price, and the 17 symbols that spend exactly 2 are the 17 wallpaper groups. Beside each bar is the orbifold itself, the surface the plane folds up into: drag it to turn it, tap it to open it larger. Each group's name opens its page in the clockwork/colouring correspondence.Магическая теорема Конвея назначает цену каждой детали символа орбифолда, и ровно 2 тратят 17 символов: это 17 групп орнаментов. Рядом с каждой полосой — сам орбифолд, поверхность, в которую сворачивается плоскость: потяните, чтобы повернуть, нажмите, чтобы открыть крупнее. Название группы ведёт на её страницу в соответствии clockwork/colouring.

All seventeen spend exactly 2: Conway's price listВсе семнадцать тратят ровно 2: прейскурант Конвея

Hover a row, or tap its number, to list its generators. Rotations:Наведите на строку или нажмите на её число, чтобы увидеть образующие. Повороты: 180°180° 120°120° 90°90° 60°60° mirrorзеркало glideскользящее отражение translationперенос

  1. op1 torusторa handle: the whole surface is one torusручка: вся поверхность — один тор
    • translation along a cell edgeперенос вдоль стороны ячейки
    • translation along the other edgeперенос вдоль другой стороны
  2. 2222p2 pillowcaseнаволочкаa rectangle doubled: four 180° cone pointsудвоенный прямоугольник: четыре конические точки по 180°
    • 180° rotation at a cell cornerповорот на 180° вокруг вершины ячейки
    • 180° rotation halfway along one edge from itповорот на 180° вокруг середины стороны из неё
    • 180° rotation halfway along the other edgeповорот на 180° вокруг середины другой стороны
  3. **pm annulusкольцоa cylinder whose two rims are mirrorsцилиндр, оба края которого — зеркала
    • mirrorзеркало
    • mirror next to itзеркало, соседнее с ним
    • translation along them, the shortestперенос вдоль них, кратчайший
  4. ××pg Klein bottleбутылка Клейнаtwo cross-caps; in space it passes through itselfдве плёнки Мёбиуса; в пространстве проходит сквозь себя
    • glide, the shortest on its lineскользящее отражение, кратчайшее на своей оси
    • glide, the shortest on the next parallel lineскользящее отражение, кратчайшее на соседней параллельной оси
  5. *×cm Möbius bandлента Мёбиусаits one edge is a mirrorеё единственный край — зеркало
    • mirrorзеркало
    • glide, the shortest on the next parallel lineскользящее отражение, кратчайшее на соседней параллельной оси
  6. *2222pmm rectangleпрямоугольникmirror edges, four 90° cornersзеркальные края, четыре угла по 90°
    • mirror on the rectangle's left sideзеркало на левой стороне прямоугольника
    • mirror on its right sideзеркало на правой стороне
    • mirror on its top sideзеркало на верхней стороне
    • mirror on its bottom sideзеркало на нижней стороне
  7. 22*pmg half a pillowcaseполовина наволочкиa pouch whose mouth is a mirror; two 180° cone pointsмешочек с зеркальным устьем; две конические точки по 180°
    • mirrorзеркало
    • 180° rotation at a 2-fold centre nearest itповорот на 180° вокруг ближайшего к нему центра 2-го порядка
    • 180° rotation at the next centre parallel to itповорот на 180° вокруг следующего центра параллельно ему
  8. 22×pgg cross-capскрещённый колпакa projective plane with two 180° cone points; it passes through itselfпроективная плоскость с двумя коническими точками по 180°; проходит сквозь себя
    • glide, the shortest on its lineскользящее отражение, кратчайшее на своей оси
    • glide, the shortest on a perpendicular lineскользящее отражение, кратчайшее на перпендикулярной оси
  9. 2*22cmm half a square pillowполовина квадратной подушкиcut corner to corner: a mirror mouth with two 90° corners, one 180° cone pointразрезана по диагонали: зеркальное устье с двумя углами по 90°, коническая точка 180°
    • mirrorзеркало
    • mirror crossing itзеркало, пересекающее его
    • 180° rotation at a nearest 2-fold centre off the mirrorsповорот на 180° вокруг ближайшего центра 2-го порядка вне зеркал
  10. 442p4 triangular pillowтреугольная подушкаa 45-45-90 triangle doubled: cone points 90°, 90°, 180°удвоенный треугольник 45-45-90: конические точки 90°, 90°, 180°
    • 90° rotation at a 4-fold centreповорот на 90° вокруг центра 4-го порядка
    • 180° rotation at a nearest 2-fold centreповорот на 180° вокруг ближайшего центра 2-го порядка
  11. *442p4m 45-45-90 triangleтреугольник 45-45-90mirror edges, corners 45°, 45°, 90°зеркальные края, углы 45°, 45°, 90°
    • mirror on one leg of the triangleзеркало на одном катете треугольника
    • mirror on the other legзеркало на другом катете
    • mirror on the hypotenuseзеркало на гипотенузе
  12. 4*2p4g half the 442 pillowполовина подушки 442a mirror mouth with one 90° corner; one 90° cone pointзеркальное устье с одним углом 90°; коническая точка 90°
    • 90° rotation at a 4-fold centreповорот на 90° вокруг центра 4-го порядка
    • mirror nearest itзеркало, ближайшее к нему
  13. 333p3 triangular pillowтреугольная подушкаan equilateral triangle doubled: three 120° cone pointsудвоенный равносторонний треугольник: три конические точки по 120°
    • 120° rotation at a 3-fold centreповорот на 120° вокруг центра 3-го порядка
    • 120° rotation at a neighbouring 3-fold centreповорот на 120° вокруг соседнего центра 3-го порядка
  14. *333p3m1 equilateral triangleравносторонний треугольникmirror edges, three 60° cornersзеркальные края, три угла по 60°
    • mirror on one side of the triangleзеркало на одной стороне треугольника
    • mirror on the second sideзеркало на второй стороне
    • mirror on the third sideзеркало на третьей стороне
  15. 3*3p31m half the 333 pillowполовина подушки 333a mirror mouth with one 60° corner; one 120° cone pointзеркальное устье с одним углом 60°; коническая точка 120°
    • 120° rotation at a centre off the mirrorsповорот на 120° вокруг центра вне зеркал
    • mirror nearest itзеркало, ближайшее к нему
  16. 632p6 triangular pillowтреугольная подушкаa 30-60-90 triangle doubled: cone points 60°, 120°, 180°удвоенный треугольник 30-60-90: конические точки 60°, 120°, 180°
    • 60° rotation at a 6-fold centreповорот на 60° вокруг центра 6-го порядка
    • 120° rotation at a nearest 3-fold centreповорот на 120° вокруг ближайшего центра 3-го порядка
  17. *632p6m 30-60-90 triangleтреугольник 30-60-90mirror edges, corners 30°, 60°, 90°зеркальные края, углы 30°, 60°, 90°
    • 60° rotation at a 6-fold centreповорот на 60° вокруг центра 6-го порядка
    • mirror halfway to the next 6-fold centreзеркало посередине до следующего центра 6-го порядка

How the surfaces are drawnКак нарисованы поверхности

Double a rectangle or a triangle and stuff it, and you have a pillow whose corners are cone points: 2222, 333, 442, 632. Cut a pillow along its seam and one flat face is left, its edges now mirrors: the kaleidoscopes *2222, *333, *442, *632. Cut it instead along a mirror line of the polygon and you get half a pillow, a pouch whose open mouth is the mirror: 22*, 2*22, 4*2, 3*3.Удвойте прямоугольник или треугольник и набейте его — получится подушка, углы которой — конические точки: 2222, 333, 442, 632. Разрежьте подушку по шву — останется одна плоская грань, края которой теперь зеркала: калейдоскопы *2222, *333, *442, *632. Разрежьте её вместо этого по оси симметрии многоугольника — получится половина подушки, мешочек, чьё открытое устье и есть зеркало: 22*, 2*22, 4*2, 3*3.

The other five are the torus o, the annulus **, the Möbius band *×, and two surfaces that cannot sit in space without passing through themselves: the Klein bottle ×× and the cross-cap 22×. Everything is bent so you can see it; the orbifolds themselves are flat.Остальные пять — тор o, кольцо **, лента Мёбиуса *× и две поверхности, которые не помещаются в пространстве, не проходя сквозь себя: бутылка Клейна ×× и скрещённый колпак 22×. Всё изогнуто, чтобы было видно; сами орбифолды плоские.

SourcesИсточники

↗

Drag to turn it any way.Потяните, чтобы повернуть как угодно.

Generators needed:Нужно образующих: